27.08.2015

Jak ocenić efektywność inwestycji (3)

Teoria portfelowa Markowitza

Przełomem w podejściu do zagadnienia oceny efektywności inwestycji okazała się stworzona przez Harrego Markowitza teoria portfelowa, a także opracowane później na jej podstawie modele wyceny aktywów kapitałowych. Wniosły one zupełnie nowe spojrzenie na problem pomiaru atrakcyjności inwestycji. W niniejszym artykule przedstawione zostaną same potencjalnie użyteczne dla inwestorów wskaźniki oparte na teorii portfelowej, z pominięciem kwestii ich wyprowadzenia.

Kowariancja i współczynnik korelacji

Przedstawiony wcześniej wzór na odchylenie standardowe sprawdza się w przypadku pojedynczych instrumentów. Sprawa komplikuje się, jeżeli chcemy zmierzyć ryzyko portfela zbudowanego z kilku instrumentów. Aby policzyć ryzyko portfela złożonego z kilku instrumentów należy uwzględnić nie tylko odchylenia standardowe składników, ale także powiązania jakie między nimi występują. W pewnym uproszczeniu, istotne jest nie tylko o ile może wahać się instrument A i B, ale także jak zachowa się instrument B, gdy A spadnie i odwrotnie. Wskaźnikiem mierzącym siłę zależności między dwoma instrumentami jest kowariancja. Wzór na kowariancję pomiędzy instrumentami A i B wygląda następująco:

gdzie:

RAi– stopa zwrotu instrumentu A w momencie i, pozostałe oznaczenia analogicznie.

Kowariancja określa współzależność pomiędzy dwiema zmiennymi. Im ta współzależność jest większa tym większa jest kowariancja. Jeżeli, w tym samym okresie, wysokim RA (powyżej średniej) odpowiadają wysokie RB, to kowariancja przyjmuje wartości dodatnie. Jeżeli wysokim RA odpowiadają niskie RB (poniżej średniej), to kowariancja przyjmuje wartości ujemne. Kowariancja może przyjmować dowolne wartości. Kowariancja bliska zeru oznacza brak zależności pomiędzy instrumentami. Im wyższa jest wartość bezwzględna kowariancji, tym silniejsza jest zależność między instrumentami (dodatnia bądź ujemna). Kowariancja w swojej konstrukcji uwzględnia zmienność instrumentów. Z tego też względu jej wartość może czasem być myląca, gdyż składają się na nią nie tylko współzależność między instrumentami, ale także ich zmienności. Wskaźnikiem, który jest pozbawiony tej wady jest współczynnik korelacji.

Współczynnik korelacji jest to nic innego, jak wystandaryzowana kowariancja. Może on przyjmować wartości od -1 do 1. Korelacja równa 1 oznacza, że stopy zwrotu zmieniają się dokładnie w ten sam sposób. Wartość -1 występuje, gdy stopy zwrotu zachowują się dokładnie odwrotnie. Współczynnik korelacji równy 0 oznacza, że pomiędzy stopami zwrotu nie występuje żadna zależność. W odróżnieniu od kowariancji, korelacja nie jest zależna od wielkości wariancji (odchylenia standardowego) danych instrumentów. Powoduje to w niektórych przypadkach pewne różnice w informacji dawanej przez wskaźniki. Przykładowo para instrumentów o wysokiej zmienności może charakteryzować się większą kowariancją od pary instrumentów o mniejszej zmienności, ale równie silnej współzależności. Współczynnik korelacji mierzy samą współzależność, po wyeliminowaniu wpływu zmienności. Dzięki swojej intuicyjności, współczynnik korelacji cieszy się dużą popularnością wśród inwestorów. Przykładowo, inwestor posiadający portfel akcji, wiedząc, że korelacja złota do jego portfela akcji wynosi -0,8, może dodać ten składnik do portfela, aby zmniejszyć wahania swojego portfela. W razie spadków na rynku akcji, inwestor będzie zarabiał na rynku złota. Korelacja wykorzystana w ten sposób ma zasadniczą wadę – nie uwzględnia różnic w zmienności tych instrumentów. Pomocą może nam służyć w takim przypadku kowariancja.

Linia rynku kapitałowego CML

Na rynku kapitałowym istnieje szereg instrumentów o różnych poziomach korelacji pomiędzy sobą. Jeżeli przedstawimy wszystkie możliwe portfele na wykresie przedstawiającym stopę zwrotu jako funkcję odchylenia standardowego, to zbiór tych portfeli tworzyłby pole wyglądające jak to na poniższym wykresie.

pocisk.png

Punkty A, B, C, D, E, oznaczają portfele jednoskładnikowe (złożone tylko z jednego instrumentu). Na łukach pomiędzy tymi punktami znajdują się portfele 2-składnikowe (na łuku AB portfele składające się tylko z A i B). W zbiorze możliwych portfeli, nazywany z uwagi na swój kształt „pociskiem Markowitza”, możemy wyróżnić zbiór portfeli efektywnych. Portfel efektywny, to taki, dla którego nie istnieje portfel alternatywny o takiej samej stopie zwrotu i mniejszym ryzyku lub o takim samym ryzyku i wyższej stopie. Jeżeli przyjrzymy się wykresowi, możemy zauważyć, że zbiór takich portfeli wyznacza linia ZE. Portfele znajdujące się na tej linii to portfele efektywne, gdyż wszystkie portfele alternatywne leżą „pod nimi”, czyli przy tym samym ryzyku dają mniejszy dochód. Jeżeli przyjmiemy założenie, że inwestorzy mogą lokować i pożyczać aktywa po tej samej stopie procentowej zwanej stopą wolną od ryzyka, to zbiorem portfeli nie będzie już linia ZE. Portfele efektywne będą w takim przypadku leżeć na półprostej wychodzącej z punktu F (stopa wolna od ryzyka, po której możemy pożyczać środki), stycznej do „pocisku Markowitza” (wykres poniżej).

cml.png

Punkt styczności stanowi portfel rynkowy, który jest jednocześnie portfelem efektywnym. Inwestor zainteresowany portfelem o mniejszym ryzyku niż rynkowe, zakupuje za część środków instrument wolny od ryzyka (bony, obligacje), a za pozostałą część portfel rynkowy. Zbiór tak zbudowanych portfeli stanowi odcinek na lewo od M. Inwestor szukający inwestycji bardziej ryzykownej niż rynek, może pożyczyć pieniądze po stopie wolnej od ryzyka i całość środków własnych i pożyczonych zainwestować w portfel rynkowy. Zbiór takich portfeli znajduje się na prawo od punktu M. Jak widać na wykresie, wszystkie punkty półprostej (z wyłączeniem punktu wspólnego – M) leżą powyżej „pocisku Markowitza”, a zatem przy tym samym ryzyku (σ) osiąga wyższą stopę zwrotu.

Uogólniając, zbiór portfeli efektywnych jest półprostą wyznaczoną przez następującą funkcję:

Funkcja ta wyznacza linię rynku kapitałowego CML (Capital Market Line). Portfele leżące na tej linii należą do zbioru efektywnych. Portfele leżące poniżej to portfele nieefektywne. Przedstawmy zastosowanie CML na konkretnym przykładzie.

Przykład:

Portfel inwestor przynosi przeciętnie stopę zwrotu (RA) 17%, przy odchyleniu standardowym A) 15%. Stopa zwrotu portfela rynkowego wynosi (RM) 14%, odchylenie standardowe rynkowej stopy zwrotu M) 10%, a stopa wolna od ryzyka 4%. Inwestor chciałby oszacować, czy jego portfel jest efektywny (czy leży na CML). Podstawiając dane do wzoru na CML, stopa zwrotu jaką powinien dawać portfel efektywny wynosi 19% (4%+1,5x(14%-4%)), zatem portfel inwestora nie jest efektywny – leży poniżej CML (wykres poniżej).

cml-przykład

Współczynnik beta

Kluczowym wskaźnikiem, na którym opiera się znaczna część opisanych poniżej miar, jest wskaźnik beta. Najkrócej rzecz ujmując, beta jest miarą rynkowej części ryzyka danego portfela. Beta szacowana na podstawie danych historycznych, może zostać obliczona jako iloraz kowariancji danego portfela z rynkiem oraz wariancji rynkowej.

Inna, tożsama, forma tego wzoru z wykorzystaniem korelacji:

Patrząc na drugi wzór, możemy powiedzieć, że beta jest tym większa, im większa jest korelacja z rynkiem i im wyższy jest stosunek odchylenia standardowego portfela do odchylenia rynkowego. Wskaźnik ten może przyjmować dowolne wartości. Interpretacje ich są następujące:

  • β=1portfel ma dokładnie ten sam poziom ryzyka co rynek;

  • β >1ryzyko portfela większe od rynkowego;

  • 0<β<1ryzyko portfela mniejsze od rynkowego;

  • β=0portfel nieskorelowany z rynkiem, wolny od ryzyka rynkowego;

  • β<0portfel ujemnie skorelowany, jego ryzyko niweluje ryzyko rynku;

W tym miejscu należy zwrócić uwagę na podstawową własność bety. Wskaźnik ten mierzy jedynie część ryzyka, za którą odpowiada ryzyko rynkowe (inna nazwa to systematyczne) danego portfela, a nie całkowite ryzyko danego portfela. Przykładowo wskaźnik beta instrumentu o odchyleniu standardowym 40% i korelacji z rynkiem równej 0, będzie wynosił 0, pomimo tego, że posiadacze tego instrumentu narażeni są na dość spore wahania wartości. Co jest odpowiedzialne za ewentualne straty posiadacza takiego instrumentu? Ryzyko specyficzne.

Ryzyko systematyczne i specyficzne

Ryzyko każdego instrumentu możemy podzielić na dwie grupy: ryzyko systematyczne (rynkowe) oraz niesystematyczne (specyficzne). Suma tych dwóch czynników daje całkowite ryzyko związane z danym instrumentem. Ryzyko systematyczne, jak sugeruje jego druga nazwa, związane jest z rynkowymi czynnikami ryzyka, nie wynikającymi bezpośrednio z danego instrumentem, ale dotyczącymi go jako uczestnika rynku. Ryzyko specyficzne wynika ze specyfiki danego instrumentu. Dotyczy ono tylko i wyłącznie jego i jest niezależne od zdarzeń na całym rynku. Przykładowo dla akcji spółki poszukującej i wydobywającej ropę naftową ryzkiem systematycznym będzie zachowanie cen ropy naftowej na giełdzie, zaś ryzyko specyficzne będzie stanowiło ryzyko przebiegu prac poszukiwawczych (zdarzenie absolutnie niezależne od rynku). Istotna różnica polega na tym, że ryzyko specyficzne jest dywersyfikowalne, a systematyczne nie. Inwestor dodając do portfela kolejne instrumenty, zmniejsza znaczenie ryzyka specyficznego poszczególnych składników (z uwagi na brak korelacji między nimi). Nie jest on jednak w stanie zdywersyfikować ryzyka systematycznego wspólnego dla wszystkich. Zależność pomiędzy składnikami ryzyka, a dywersyfikacją przedstawia poniższy schemat.

Pole pod prostokątem to ryzyko systematyczne – stałe, niezmieniające się pod wpływem dywersyfikacji. Pole pod hiperbolą to ryzyko specyficzne, spadające wraz z dywersyfikacją. Wzory na poszczególne elementy ryzyka wyglądają następująco:

Ryzyko całkowite = ryzyko systematyczne + ryzyko specyficzne.

Z wykorzystaniem wariancji wzór ten wygląda następująco:

Wariancja portfela = wariancja rynkowa instrumentu + wariancja resztowa

Ryzyko systematyczne (wariancja rynkowa instrumentu) = β2 σM2

Wariancja resztowa = σP2 – β2 σM2

Przykład:

Inwestor chciałby oszacować ryzyko specyficzne i systematyczne instrumentu alfa. Inwestor wie, że wariancja rynku wynosi 9%, wariancja alfa 40%, beta instrumentu alfa równa się 2. Ryzyko systematyczne wynosi 36% (22x9%), ryzyko specyficzne wynosi 4% (40%-36%). Oznacza to, że jeżeli inwestor włączy ten instrument do dobrze zdywersyfikowanego portfela, ryzyko instrumentu zostanie ograniczone do 36%.

Linia SML

Jak przedstawiono to wcześniej, aby sprawdzić czy dany portfel jest efektywny, inwestorzy sprawdzają czy leży on na linii CML, pokazującej zależność stopy zwrotu od odchylenia standardowego. Linia ta zawiera tylko portfele efektywne. Znając zależność przedstawioną na schemacie powyżej, inwestorzy dążą do zbudowania portfeli zdywersyfikowanych, a tym samym do wyeliminowania ryzyka specyficznego. Ryzyko portfela dobrze zdywersyfikowanego mierzy współczynnik beta. Dlatego też, zależność dochodu od ryzyka, w przypadku takich portfeli mierzy zależność stopy zwrotu od współczynnika beta:

Linia wyznaczona przez tę funkcję nazywana jest linią rynku papierów wartościowych SML (Security Market Line). Linia ta wyznacza zbiór wszystkich portfeli będących w równowadze. Portfelem w równowadze są wszystkie portfele prawidłowo wyceniane. Oczekiwaną stopę zwrotu określa się jako sumę stopy wolnej od ryzyka oraz iloczynu miary ryzyka portfela (przedstawiona wcześniej β) oraz rynkowej premii za ryzyko (RM – RF). Współczynnik beta jest miarą ryzyka, która dodatkowo przedstawia jak zmiana rynkowej stopy zwrotu wpłynie na zmianę stopy zwrotu portfela. Przykładowo beta równa 2 oznacza, że portfel będzie reagował 2 razy silniej niż rynek. Wzrost (spadek) rynkowej stopy zwrotu o 1 pkt proc. spowoduje w takim wypadku wzrost (spadek) stopy o 2 pkt proc. Beta równa 0,5 oznacza, że portfel jest defensywny i reaguje słabiej na zmianę sytuacji rynkowej. W takim wypadku wzrost (spadek) rynkowej stopy zwrotu o 1 pkt proc. będzie skutkował wzrostem (spadkiem) stopy zwrotu z portfela o 0,5 pkt proc.

Inwestor znając betę oraz stopę zwrotu portfela może na podstawie SML sprawdzić czy dany portfel jest prawidłowo wyceniany. Portfele znajdujące się powyżej linii SML, to portfele niedoszacowane. Dają one wyższy dochód, niż portfele w równowadze. Portfele znajdujące się poniżej SML, to portfele przeszacowane. Dochód z tych portfeli jest mniejszy, niż wynikający z SML.




Przykład:

Inwestor chciałby ocenić czy pewien zdywersyfikowany portfel aktywów jest „dobrze wyceniony”. Stopa zwrotu z portfela wynosi 17%, współczynnik beta 1,2, rynkowa stopa zwrotu 14%, a stopa wolna od ryzyka 4%. Zgodnie z SML portfel taki powinien przynosić dochód na poziomie 16% (4%+1,2x(14%-4%)). Portfel znajduje się w nierównowadze (jest niedoszacowany) i przynosi stopę zwrotu o 1 punkt procentowy wyższą niż powinien.

CML-PRZYKLAD

Należy pamiętać, że SML powinien być wykorzystywany przede wszystkim do oceny portfeli dobrze zdywersyfikowanych, a CML do portfeli o słabej dywersyfikacji. Stosowanie SML do portfeli słabo zdywersyfikowanych może prowadzić do błędnych wniosków.

Przykład:

Portfel inwestora charakteryzuje się następującymi parametrami:

RP= 17%

σP=15%

βP=1,2

Wskaźniki rynkowe wynoszą:

RM= 14%

σm=10%

RF=4%

Gdyby portfel leżał na linii CML, stopa zwrotu powinna wynieść 16% (1,2x[14%-4%]+4%). Kierując się CML, inwestor mógłby dojść do wniosku, że jego portfel osiąga wyniki powyżej oczekiwanych. Ponieważ jednak inwestor podejrzewa, że portfel może być słabo zdywersyfikowany, oblicza wymaganą stopą zwrotu na podstawie linii SML. Portfel efektywny o odchyleniu standardowym 15%, powinien charakteryzować się 19% zwrotem (15/10x[14%-4%]+4%). Portfel okazał się nie być efektywnym, pomimo tego, że według CML był niedoszacowany.

Na bazie CML oraz SML powstał szereg wskaźników pozwalających bardzo szybko i łatwo ocenić i porównać między sobą kilka portfeli. Zostaną one przedstawione w kolejnym artykule.

Andrzej Nowak

EFIX Dom Maklerski S.A.




Oceń artykuł:

1 Gwiazdka2 Gwiazdki3 Gwiazdki4 Gwiazdki5 Gwiazdki (2 głosów, średnia: 5,00 z 5)
Loading...

Zobacz także:
Zobacz wszystkie

Notowania

Kalendarium

Zobacz więcej »

Statystyki sesji / mapa nastrojów

Kto czyta, nie traci

Wyrażam zgodę na przetwarzanie...

Wyrażam zgodę na przetwarzanie, w tym także w przyszłości, przez EFIX Dom Maklerski S.A. z siedzibą w Poznaniu (61-131), przy ul. Abpa. A. Baraniaka 88A, moich danych osobowych wskazanych w powyższym formularzu, w celach marketingowych, zgodnie z ustawą z dnia 29 sierpnia 1997 r. o ochronie danych osobowych (Dz.U. z 1997, Nr 133, poz. 883, z późn. zm.). Wyrażenie zgody jest dobrowolne. Oświadczam, że zostałem/-am poinformowany/-a o przysługującym mi prawie wglądu do swoich danych osobowych, ich poprawiania i kontroli. Zgoda w każdym czasie może być odwołana.

Wyrażam zgodę na przesyłanie...

Wyrażam zgodę na przesyłanie, środkami komunikacji elektronicznej, informacji handlowych przez EFIX Dom Maklerski S.A., na podany przeze mnie adres e-mail, zgodnie z ustawą o świadczeniu usług drogą elektroniczną z dnia 18 lipca 2002 roku.