28.08.2015

Czy można mylić się i zarabiać?

Każdy zaznajomiony z podstawami tradingu gracz wie, że aby zarabiać na giełdzie nie trzeba posiadać 100 % skuteczności. Wśród graczy na rynkach terminowych popularna jest obiegowa opinia, że zyskowne potrafią być strategie, które w większości przypadków się mylą. Faktycznie dla samego poziomu zysków kluczowy jest nie tyle sam poziom prawdopodobieństwa wygranej, co kombinacja dwóch parametrów: prawdopodobieństwa wygranej oraz stosunku średniego zysku do straty. Inwestor może ponosić regularnie niewielkie straty, ale kiedy już wyłapie oczekiwany ruch, odnosi zyski przewyższające utracony wcześniej kapitał. Każdy gracz powinien zdawać sobie jednak sprawę, że ten sam oczekiwany zysk nie oznacza tego samego poziomu ryzyka. W poniższym artykule pokażemy, jak różnić mogą się od siebie pozornie podobne strategie o tej samej wartości oczekiwanej zysku.

Założenia

Na początku przyjmijmy kilka założeń. Strategia gracza dopuszcza dwa możliwe stany – wygrana i przegrana. Każdy z tych stanów ma stały poziom prawdopodobieństwa. Dla wygranej poziom ten będziemy oznaczać jako P (prawdopodobieństwo przegranej wynosi w takim wypadku 1-P). Wielkość zysku będziemy określać w stosunku do straty i oznaczać literą Z. Poziom zysku równy 2 oznacza, że zysk jest dwa razy większy od straty. Gracz określa również stawkę (S), jaką naraża na ryzyko na pojedynczej pozycji (stop loss). Stawka 1% i wskaźnik zysku 2 oznacza, że w przypadku przegranej gracz traci 1%, a w przypadku wygranej zyskuje 2%. Zasady tej gry przypominają zakłady sportowe, w których możliwe są tylko dwa wyniki. Wskaźnik zysku do straty Z to nic innego, jak kurs bukmachera, a stawka S, to kwota, za jaką obstawiamy dany zakład. Oczywiście założenie, że pozycja może przynieść tylko dwa możliwe wyniki jest pewnym uproszczeniem, bowiem w przypadku większości strategii sygnał do zamknięcia pozycji generuje wskaźnik, a to oznacza różne poziomy zysku i straty. W takich przypadkach możemy mówić jedynie o średnim poziomie zysku i średnim poziomie straty, a te mogą charakteryzować się różnymi odchyleniami. Celem tego artykułu jest jednak jedynie przedstawienie pewnej zależności pomiędzy prawdopodobieństwem, poziomem zysku i ryzykiem strategii, a w tym celu możemy pozwolić sobie na takie uproszczenie.

Wartość oczekiwana

Zacznijmy od zdefiniowania wartości oczekiwanej (WO) pojedynczej pozycji. Zgodnie z teorią rachunku prawdopodobieństwa, w długim terminie średni wynik pozycji powinien dążyć do wartości oczekiwanej. Wzór tego wskaźnika jest następujący:

WO=Z*P+(1-P)

Na podstawie tego wzoru, znając prawdopodobieństwo wygranej (P) oraz wskaźnik zysku (Z), możemy określić wartości oczekiwane poszczególnych strategii. Na wykresie nr 1 przedstawiono różne kombinacje poziomów prawdopodobieństwa oraz zysku i odpowiadające im wartości oczekiwane. Poszczególne proste odpowiadają wskaźnikom zysku. Przykładowo, niebieska linia odpowiada wskaźnikowi zysku 5. Dla tego poziomu zysku i prawdopodobieństwa 0,2 (oś X), wartość oczekiwana wynosi 0,2 (oś Y). Przesuwając się w prawo wzdłuż linii Z=5, zwiększamy prawdopodobieństwo P oraz wartość oczekiwaną. Przykładowo dla P równego 0,3, WO wynosi 0,8. Warto również zwrócić uwagę, że wraz ze spadkiem wskaźnika zysku, funkcje wartości oczekiwanej charakteryzują się coraz mniejszym kątem nachylenia do osi X. Oznacza to wolniejszy wzrost WO przy takim samym wzroście P. Przykładowo, jeżeli strategia o wskaźniku zysku równym 5 zwiększy prawdopodobieństwo z 0,2 do 0,3, wartość oczekiwana wzrośnie aż o 0,6 (z 0,2 na 0,8). Jeżeli o taką samą wartość zwiększymy prawdopodobieństwo w przypadku wskaźnika zysku 1, WO wzrośnie jedynie o 0,2.

Wykres 1 obrazowo przedstawia zależności pomiędzy prawdopodobieństwem, wskaźnikiem zysku, a wartością oczekiwaną. Widzimy na nim wyraźnie, że dla każdego poziomu wartości oczekiwanej istnieją różne kombinacje strategii. Na naszym wykresie przedstawiliśmy jedynie sześć możliwych wskaźników zysku. W rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele kombinacji Z i P, które dają określoną wartość oczekiwaną. Skoro określony dochód ze strategii możemy osiągnąć na wiele sposobów, warto zastanowić się, jak te różne kombinacje Z i P wpływają na ponoszone przez nas ryzyko. W tym celu przyjrzymy się zależności pomiędzy wartością oczekiwaną, prawdopodobieństwem i wskaźnikiem zysku, a odchyleniem standardowym i wskaźnikiem maksymalnego obsunięcia kapitału.

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe mierzy o ile przeciętnie wartości odchylają się od średniej. Odchylenie jest obliczane jako pierwiastek wariancji obliczanej według następującego wzoru:

gdzie:

σ2– wariancja,

σ- odchylenie standardowe,

T- liczba prób (przeszłych okresów) jakimi dysponujemy,

Ri– stopa zwrotu w okresie i,

R- średnia stopa zwrotu.

Jeżeli prawdopodobieństwo, wskaźnik zysku oraz stawka są stałe, możemy zastosować krótszą formułę wzoru na odchylenie standardowe:

ODCHYLENIE = (1+Z)*S*(P(1-P))^0,5

Dla naszych obliczeń przyjmujemy, że w każdej transakcji ryzykujemy 1% kapitału (S=0,01). Na wykresie nr 2 przedstawione zostały kombinacje portfeli o 6 różnych wartościach oczekiwanych. Każda krzywa odpowiada innej wartości oczekiwanej. Przesuwając się wzdłuż określonej krzywej w prawo, przechodzimy do strategii o coraz wyższym poziomie prawdopodobieństwa i tej samej wartości oczekiwanej (rośnie P, spada Z, WO bez zmian). Jakie możemy wyciągnąć wnioski z poniższego wykresu? Po pierwsze, im wyższa wartość oczekiwana, przy stałym P, tym wyższe odchylenie. Drugi wniosek, strategia o tej samej wartości oczekiwanej mają tym większe ryzyko, im niższe jest prawdopodobieństwo zysku. Spójrzmy na strategie o wartości oczekiwanej 2. Przy prawdopodobieństwie 0,5 (wskaźnik Z wynosi 5) wynik z pojedynczej pozycji waha się przeciętnie o 3% dostępnego kapitału. Dla P równego 0,2 (Z=14) odchylenie standardowe wyniku z pozycji wzrasta dwukrotnie do 6%. Warto zwrócić uwagę, że odchylenie standardowe spada szczególnie szybko przy strategiach o niskim prawdopodobieństwie. Wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa tempo spadku odchylenia standardowego maleje. Przykładowo przy wartości oczekiwanej 2, wzrost prawdopodobieństwa z 0,1 do 0,15 wiąże się ze spadkiem odchylenia prawie o 2 pkt proc.. Przy tej samej WO, wzrost prawdopodobieństwa z 0,5 do 0,55 powoduje spadek odchylenia jedynie o niecałe 0,33 pkt proc.

Maksymalne obsunięcie kapitału (Maximal drawdown)

Jak widać strategie o tej samej wartości oczekiwanej mogą różnić się znacząco pod względem ponoszonego ryzyka. Powyższy przykład obrazuje, ryzyko pojedynczej transakcji mierzone odchyleniem standardowym. Warto spojrzeć jak ta sama zależność wygląda na przykładzie maksymalnego obsunięcie kapitału. Wskaźnik ten definiujemy w następujący sposób:

Max_Obsunięcie(t)= max(Mi-Vi) dla i[0,t]

gdzie:

V(i) – wartość kapitału w momencie i,

Mt = max(Vi) dla i[0,t].

Obsunięcie kapitału w danym momencie jest liczone jako różnica pomiędzy dotychczasowym szczytem linii kapitału i bieżącym poziomem kapitału. Największe obsunięcie kapitału to maksimum ze wszystkich obsunięć kapitału.Wskaźnik ten jest szczególnie przydatny inwestorom w projektowaniu strategii, gdyż pokazuje on jak dużą część kapitału można było stracić w najgorszym dla strategii okresie. W celu obliczenia maksymalnego obsunięcia kapitału poszczególnych strategii, przeprowadziliśmy symulację ich linii kapitału. Przyjęliśmy, że w trakcie życia strategii otworzymy i zamkniemy 1000 pozycji, a stawka w pojedynczej transakcji wyniesie 1% kapitału. Symulacja polegała na wylosowaniu ciągu 1000 zdarzeń (wygrana – przegrana) o określonym z góry prawdopodobieństwie zajścia wynikającym ze strategii. Aby wynik ten miał statystyczne znaczenie, przeprowadziliśmy tysiąc takich prób, a następnie uszeregowaliśmy największe obsunięcia kapitału z wszystkich prób. Za największy drawdown przyjęliśmy 95-ty percentyl tego szeregu (inaczej mówiąc odrzuciliśmy 5% największych odczytów i wybraliśmy największy z pozostałej grupy). Mając w ten sposób obliczony max drawdown, możemy stwierdzić, że z prawdopodobieństwem 95% największe obsunięcie kapitału ze strategii będzie mniejsze od tej wartości.

Wyniki tej symulacji zaprezentowano na wykresie nr 3. Jak widać obsunięcie kapitału jest tym większe, im niższe jest prawdopodobieństwo wygranej. Spójrzmy ponownie na strategie o wartości oczekiwanej 2. Przy prawdopodobieństwie 0,4 (wskaźnik zysku wynosi 6,5) obsunięcie kapitału wyniosło 18%. Spadek prawdopodobieństwa do 0,2 powoduje dwukrotny wzrost drawdownu do poziomu 36%. Z kolei wzrost prawdopodobieństwa do poziomu 0,6 obniża maksymalne obsunięcie kapitału do poziomu 10%.

Annualizowana stopa zwrotu

Kolejna istotna miara, o której należy pamiętać analizując różne kombinacje parametrów naszej strategii, to annualizowana (roczna) stopa zwrotu. W sytuacji, kiedy cały czas ryzykujemy taką samą kwotowo stawkę, wskaźnik ten jest identyczny dla wszystkich strategii o tej samej wartości oczekiwanej. Inaczej sprawa wygląda, gdy nasza stawka jest stałą częścią dostępnego kapitału. Wtedy annualizowane stopy zwrotu strategii o tych samych wartościach oczekiwanych mogą się znacząco różnić. Załóżmy, że w ciągu roku będziemy mieli 250 pozycji, a stawka każdej z nich będzie równa 1% dostępnego kapitału. Różnica pomiędzy dwiema strategiami o tej samej wartości oczekiwanej (0,2) i prawdopodobieństwach 0,1 i 0,6 wyniesie w takim wypadku ponad 20 pkt proc. Różnice pomiędzy annualizowanymi stopami zwrotu przykładowych strategii przedstawia poniższa tabela.

Podsumowanie

Okazuje się zatem, że strategie o wyższym prawdopodobieństwie wygranej są nie tylko mniej ryzykowne od strategii o tej samej wartości oczekiwanej i mniejszym P, ale także charakteryzują się wyższą stopą zwrotu, przy założeniu, że zyski są reinwestowane. Poniżej znajduje się porównanie wszystkich parametrów ryzyka i zysku par strategii o wysokim i niskim prawdopodobieństwie. Przyjęliśmy konserwatywne założenie, że strategie o wysokim prawdopodobieństwie, to strategie wygrywające 6 na 10 razy. Gdyby przyjąć, że częstotliwość „trafień” będzie wyższa, wyniki strategii o dużych prawdopodobieństwach byłyby jeszcze lepsze.

Wnioski

Jakie praktyczne wnioski płyną z powyższych badań?

  1. Obiegowa opinia o tym, że strategia nie musi mieć wysokiej skuteczności, gdyż oprócz prawdopodobieństwa wygranej liczy się stosunek średniego zysku do straty, jest nie do końca prawdziwa. Pomija ona zupełnie ryzyko strategii.

  2. Gracz z dwóch strategii o podobnym poziomie potencjalnego zysku powinien wybrać tę, która charakteryzuje się wyższą częstotliwością zysków. Wiąże się ona z niższym poziomem ryzyka.

  3. Z dwóch strategii o takiej samej wartości oczekiwanej, strategia o wyższym prawdopodobieństwie zysku, poza niższym ryzykiem, charakteryzuje się wyższą stopą zwrotu w przypadku reinwestowania zysków.

  4. Zwiększenie prawdopodobieństwa zysku, przy zachowaniu tej samej wartości oczekiwanej, powoduje zmniejszenie wskaźnika obsunięcia kapitału. Pozwala to na podniesienie stawki, a tym samym uzyskanie wyższej stopy zwrotu przy tym samym poziomie ryzyka.

  5. W niektórych przypadkach strategie o wyższej wartości oczekiwanej i niskim prawdopodobieństwie wygranej mogą okazać się mniej atrakcyjne, niż strategie o niższej wartości oczekiwanej i wysokim prawdopodobieństwie.

 

Andrzej Nowak

EFIX Dom Maklerski S.A.

Oceń artykuł:

1 Gwiazdka2 Gwiazdki3 Gwiazdki4 Gwiazdki5 Gwiazdki (2 głosów, średnia: 5,00 z 5)
Loading...

Zobacz także:
Zobacz wszystkie

Notowania

Kalendarium

Zobacz więcej »

Statystyki sesji / mapa nastrojów

Kto czyta, nie traci

Wyrażam zgodę na przetwarzanie...

Wyrażam zgodę na przetwarzanie, w tym także w przyszłości, przez EFIX Dom Maklerski S.A. z siedzibą w Poznaniu (61-131), przy ul. Abpa. A. Baraniaka 88A, moich danych osobowych wskazanych w powyższym formularzu, w celach marketingowych, zgodnie z ustawą z dnia 29 sierpnia 1997 r. o ochronie danych osobowych (Dz.U. z 1997, Nr 133, poz. 883, z późn. zm.). Wyrażenie zgody jest dobrowolne. Oświadczam, że zostałem/-am poinformowany/-a o przysługującym mi prawie wglądu do swoich danych osobowych, ich poprawiania i kontroli. Zgoda w każdym czasie może być odwołana.

Wyrażam zgodę na przesyłanie...

Wyrażam zgodę na przesyłanie, środkami komunikacji elektronicznej, informacji handlowych przez EFIX Dom Maklerski S.A., na podany przeze mnie adres e-mail, zgodnie z ustawą o świadczeniu usług drogą elektroniczną z dnia 18 lipca 2002 roku.